计算题专练

这一页怎么用

下午应用技术科目（案例题）里必有一道计算大题，分值 18-22 分。这是整张卷子里性价比最高的一块：公式是死的，练熟了就是送分。

这一页不是教材缩写，而是"照着抄就能拿分"的答题手册。用法：

1. 先把 公式总表 抄三遍，进考场前能默出来；
2. 每道例题先盖住答案自己算一遍，再对答案；
3. 最后背熟 答题技巧 和 结论句模板——案例计算题公式分和结论分是分开给的，只写数字不写结论会白丢 2-3 分。

更细的概念解释见 概念卡-挣值管理、概念卡-关键路径、概念卡-合同类型、概念卡-沟通渠道。

零、答题总原则（先记住这 4 条，比公式还重要）

万能四步法：写公式 → 代数据 → 出结果（带单位） → 下结论。四个环节缺一不可。

一、挣值分析 EVA（案例计算题之王）

1.1 公式总表（必须默写）

三个基本参数（同一时点取值，这是第一步）：

项目总 PV 的终点就是 BAC（完工预算）。

偏差与绩效指数：

万能口诀：减号看正负（>0 好），除号看大小（>1 好）。

预测三兄弟：

EAC 三种算法（看清题干说"偏差典型与否"）：

TCPI（完工尚需绩效指数）：

基于 BAC：TCPI = (BAC − EV) / (BAC − AC)

TCPI > 1 → 剩下的活必须比现在干得更省才追得回来；比 1 大得越多越绝望。

1.2 例题 1（易）：只考基本偏差判断

某系统集成项目 BAC = 200 万元。第 4 个月末检查：PV = 80 万元，EV = 80 万元，AC = 90 万元。 求 SV、CV、SPI、CPI，并判断项目当前状态。

解：

1. SV = EV − PV = 80 − 80 = **0 万元**
2. SPI = EV / PV = 80 / 80 = **1.00**
3. CV = EV − AC = 80 − 90 = **−10 万元**
4. CPI = EV / AC = 80 / 90 ≈ **0.89**

结论：SV = 0、SPI = 1.00，说明进度与计划一致；CV = −10 万元、CPI = 0.89 < 1，说明成本超支 10 万元，每花 1 元只产出 0.89 元的活。项目经理应分析超支原因（如资源单价上涨、返工、估算偏低），提出纠正措施类变更请求，并加强成本控制（见 13.5 控制成本）。

1.3 例题 2（中）：典型偏差 + 预测全套

某软件开发项目 BAC = 500 万元。第 6 个月末检查：PV = 300 万元，EV = 270 万元，AC = 330 万元。 经分析，当前偏差具有典型性，将延续到项目结束。 （1）计算 SV、SPI、CV、CPI 并判断状态；（2）计算 ETC、EAC、VAC；（3）计算 TCPI 并说明预算能否守住。

解：

（1）偏差与指数

（2）预测（偏差典型 → 用 EAC = BAC / CPI）

CPI = 270 / 330 ≈ 0.8182
EAC = BAC / CPI = 500 / 0.8182 ≈ 611.11（万元）
ETC = (BAC − EV) / CPI = (500 − 270) / 0.8182 ≈ 281.11（万元）
校验：AC + ETC = 330 + 281.11 = 611.11 = EAC ✔
VAC = BAC − EAC = 500 − 611.11 = −111.11（万元）

（3）TCPI

TCPI = (BAC − EV) / (BAC − AC) = (500 − 270) / (500 − 330) = 230 / 170 ≈ 1.35

结论：项目进度落后且成本超支；按当前绩效推算，完工估算 EAC ≈ 611.11 万元，预计超支 111.11 万元；TCPI = 1.35，远高于当前 CPI = 0.82，说明原成本基准已基本守不住。项目经理应立即提出纠正措施类变更请求（如优化资源配置、削减非关键工作、重新谈判供应商价格），经 CCB 审批后执行，必要时申请调整成本基准（见 13.12 实施整体变更控制）。

1.4 例题 3（难）：三种 EAC 情形 + 决策建议

某系统集成项目 BAC = 1000 万元。第 8 个月末：PV = 600 万元，EV = 480 万元，AC = 560 万元。 （1）判断项目当前状态；（2）若偏差为典型，求 EAC、VAC；（3）若偏差为非典型（一次性因素造成），求 EAC、VAC；（4）若同时考虑进度与成本双重影响，求 EAC；（5）基于 BAC 求 TCPI 并给出建议。

解：

（1）当前状态

SV  = EV − PV = 480 − 600 = −120（万元）  → 进度落后
SPI = EV / PV = 480 / 600 = 0.80        → 仅完成计划的 80%
CV  = EV − AC = 480 − 560 = −80（万元）  → 成本超支
CPI = EV / AC = 480 / 560 ≈ 0.86        → 每花 1 元只产出 0.86 元

（2）典型偏差

EAC = BAC / CPI = 1000 / (480/560) = 1000 × 560 / 480 ≈ 1166.67（万元）
VAC = BAC − EAC = 1000 − 1166.67 = −166.67（万元）

（3）非典型偏差

EAC = AC + (BAC − EV) = 560 + (1000 − 480) = 560 + 520 = 1080.00（万元）
VAC = BAC − EAC = 1000 − 1080 = −80.00（万元）

（4）进度与成本双重影响

EAC = AC + (BAC − EV) / (CPI × SPI)
    = 560 + 520 / (0.857 × 0.80)
    = 560 + 520 / 0.686
    ≈ 560 + 758.33
    = 1318.33（万元）

（5）TCPI 与建议

TCPI = (BAC − EV) / (BAC − AC) = (1000 − 480) / (1000 − 560) = 520 / 440 ≈ 1.18

结论：项目进度落后（SPI = 0.80）且成本超支（CPI = 0.86）。三种算法下完工估算分别为 1166.67 万元（典型）、1080.00 万元（非典型）、1318.33 万元（双重影响），均超过 1000 万元预算；TCPI = 1.18 > 当前 CPI = 0.86，剩余工作必须以 1.18 的效率完成才能保住预算，难度很大。建议：①立即提出纠正措施类变更请求；②对关键路径活动做赶工或快速跟进并评估代价（见 概念卡-关键路径）；③若无法追回，应正式提出调整成本基准的变更请求，经 CCB 审批后更新基准，严禁私下超支硬扛。

⚠️ 三个致命坑：①把 EV 当成"已花的钱"（那是 AC）；②PV 不含管理储备；③典型/非典型用错公式——题干出现"今后按当前绩效继续""偏差具有代表性"→ 典型 → EAC = BAC/CPI。

二、关键路径与工期计算

2.1 公式总表

关键路径 = 网络图中时间最长的路径，它决定项目的最短总工期；关键路径上 TF 通常为 0。 关系：TF ≥ FF。可能有多条关键路径。

压缩工期两招：

2.2 例题 1（易）：求关键路径与浮动时间

某项目活动关系与工期如下：A(3天) 为起始活动；A 完成后 B(4天) 与 C(6天) 可同时开始；B、C 都完成后 D(5天) 开始。 求：各活动的 ES/EF/LS/LF、关键路径、总工期、各活动总浮动与自由浮动。

解：

正推（首→尾，取大）

逆推（尾→首，取小）

浮动时间

结论：两条路径分别为 A→B→D = 12 天 与 A→C→D = 14 天，关键路径为 A→C→D，项目总工期 14 天；活动 B 有总浮动 2 天、自由浮动 2 天，可延迟 2 天而不影响总工期，其资源可临时调剂支援 C。

2.3 例题 2（难）：工期压缩方案比选

某项目活动如下，业主要求总工期由 14 天压缩到 12 天：

活动	紧前	正常工期	最多可压缩	压缩费用
A	—	5 天	2 天	500 元/天
B	A	6 天	1 天	800 元/天
C	A	4 天	2 天	600 元/天
D	B、C	3 天	不可压缩	—

求最优压缩方案及增加的直接成本。

解：

第一步：找关键路径

路径 ① A→B→D = 5 + 6 + 3 = 14（天）
路径 ② A→C→D = 5 + 4 + 3 = 12（天）
→ 关键路径为 A→B→D，总工期 14 天

第二步：比选方案（需压缩 2 天）

第三步：校验方案 2 的约束

A 可压缩上限 2 天，压缩 2 天未超限 ✔
压缩后：路径① = 3+6+3 = 12 天，路径② = 3+4+3 = 10 天
关键路径仍为 A→B→D，无第二条关键路径产生 ✔

结论：应选择方案 2——压缩活动 A 共 2 天，增加直接成本 2 × 500 = 1000 元，工期由 14 天压缩至 12 天。理由：A 是两条路径的公共活动，压缩 A 能同时缩短两条路径，单位成本（500 元/天）也最低，比压缩非公共活动 B 更划算；方案 3 压缩的是非关键路径活动 C，对总工期毫无作用。压缩后应提交变更请求经 CCB 审批，更新进度基准与成本基准，并评估赶工带来的质量与风险影响（见 13.4 控制进度、11.10 制订进度计划）。

三、三点估算与期望工期

3.1 公式

关键路径上多项活动时：

总期望工期  T  = Σ Te
总方差      σ² = Σ σi²
总标准差    σ  = √(Σ σi²)

完工概率：±1σ ≈ 68%、±2σ ≈ 95%、±3σ ≈ 99%

推论：在 T + 1σ 内完工的概率 ≈ 50% + 68%/2 = **84%**。

3.2 例题

某项目关键路径上有 A、B 两项活动，采用 β（PERT）分布估算： A：To = 6 天，Tm = 12 天，Tp = 24 天； B：To = 10 天，Tm = 16 天，Tp = 34 天。 （1）求各项活动的期望工期与标准差；（2）求项目总期望工期与总标准差；（3）给出 68%、95% 的完工区间，并判断"合同要求 36 天内完工"的把握有多大；（4）若误用三角分布公式，结果会差多少？

解：

（1）单活动

A：Te = (To + 4Tm + Tp) / 6 = (6 + 4×12 + 24) / 6 = (6 + 48 + 24) / 6 = 78 / 6 = 13（天）
    σ  = (Tp − To) / 6 = (24 − 6) / 6 = 3（天）      σ² = 9

B：Te = (10 + 4×16 + 34) / 6 = (10 + 64 + 34) / 6 = 108 / 6 = 18（天）
    σ  = (34 − 10) / 6 = 4（天）                     σ² = 16

（2）汇总

总期望工期 T  = 13 + 18 = 31（天）
总方差     σ² = 9 + 16 = 25
总标准差   σ  = √25 = 5（天）

（3）概率区间

±1σ：31 ± 5  → 26 ~ 36 天，概率约 68%
±2σ：31 ± 10 → 21 ~ 41 天，概率约 95%
±3σ：31 ± 15 → 16 ~ 46 天，概率约 99%

36 天 = T + 1σ → 完工概率 ≈ 50% + 68%/2 = 84%

（4）公式对比（防错）

误用三角分布：A = (6+12+24)/3 = 14 天，B = (10+16+34)/3 = 20 天，合计 34 天
正确（β 分布）合计 31 天 → 相差 3 天

结论：该项目最可能 31 天完工，总标准差 5 天；在 36 天内完工的把握约 84%，存在一定超期风险，应针对关键路径活动准备赶工或快速跟进预案，并设置合理的应急储备（见 11.9 估算活动持续时间）。同时提醒：(To + 4Tm + Tp)/6 是贝塔（PERT）公式，不是三角分布公式，两者结果相差 3 天，用错整题皆错。

四、沟通渠道数

4.1 公式

沟通渠道数 = n(n − 1) / 2

• n = 参与沟通的人数（看题干问的是团队还是全体干系人）；
• n(n−1)：每个人都要跟其余 n−1 个人连一条线；÷2：每条线被数了两遍。

常考算例：6 人 = 15 条；9 人 = 36 条；10 人 = 45 条；12 人 = 66 条。

4.2 例题

某系统集成项目团队原有 6 人。因范围扩大新增 4 名开发人员，同时客户方新增 2 名对接人纳入沟通管理计划。 （1）原有沟通渠道数是多少？（2）变化后是多少？（3）增加了多少条？（4）项目经理应如何应对？

解：

（1）原有：n = 6  → 6 × (6 − 1) / 2 = 6 × 5 / 2 = 15（条）
（2）变化后：n = 6 + 4 + 2 = 12 → 12 × 11 / 2 = 66（条）
（3）增加：66 − 15 = 51（条）

结论：人数由 6 人增至 12 人（翻 1 倍），沟通渠道数却由 15 条增至 66 条（增长约 4.4 倍），说明沟通复杂度随人数呈平方级增长。项目经理必须更新沟通管理计划，明确"谁需要什么信息、何时给、以什么方式给"，合理选用互动/推式/拉式沟通（见 11.17 规划沟通管理），避免信息过载、渠道错配和只发邮件不确认理解的问题（见 概念卡-沟通渠道）。

⚠️ 陷阱：题干说"新增 4 人"时，要先算变化后的总人数再套公式，不能拿"4"直接代入。

五、合同类型计算（FPIF）

5.1 公式与规则

总价加激励费用 FPIF 的结算逻辑：

实际成本低于目标成本（节约）：
    买方实付 = 实际成本 + 目标利润 + 节约额 × 卖方分成比例

实际成本高于目标成本（超支）：
    应付 = 实际成本 + 目标利润 − 超支额 × 卖方分担比例
    买方实付 = min(应付, 最高限价)      ← 超过上限则封顶

卖方利润 = 买方实付 − 实际成本

FPIF 是唯一可能算到"卖方亏本"的合同，因为它设了价格上限（见 概念卡-合同类型）。

5.2 例题

某合同：目标成本 100 万元，目标利润 10 万元，目标总价 110 万元，分成比例 买方 70 / 卖方 30，最高限价 120 万元。 分别计算实际成本为 ①90 万元、②115 万元、③130 万元 时的买方实付金额与卖方利润。

解：

① 实际成本 90 万元（节约 10 万元）

卖方多得分成 = 10 × 30% = 3.00（万元）
买方实付 = 90 + 10 + 3 = 103.00（万元）
卖方利润 = 103 − 90 = 13.00（万元）

② 实际成本 115 万元（超支 15 万元）

卖方承担超支 = 15 × 30% = 4.50（万元）
应付 = 115 + 10 − 4.5 = 120.50（万元）
120.50 > 最高限价 120 → 买方实付封顶 = 120.00（万元）
卖方利润 = 120 − 115 = 5.00（万元）

③ 实际成本 130 万元（超支 30 万元）

卖方承担超支 = 30 × 30% = 9.00（万元）
应付 = 130 + 10 − 9 = 131.00（万元）
131.00 > 最高限价 120 → 买方实付封顶 = 120.00（万元）
卖方利润 = 120 − 130 = −10.00（万元，即亏损 10 万元）

结论：实际成本 90 万元时买方付 103 万元、卖方赚 13 万元；115 万元时买方付 120 万元（触发价格上限）、卖方赚 5 万元；130 万元时买方仍只付 120 万元，而卖方亏损 10 万元。可见 FPIF 通过价格上限把超出部分的成本风险转移给卖方，实现买卖双方风险分担；对卖方而言，若成本控制无把握，不宜接受限价过低的 FPIF 合同（见 11.23 规划采购管理、12.9 实施采购）。

六、预期货币价值 EMV 与决策树

6.1 公式

EMV（预期货币价值）= Σ（某情景发生概率 × 该情景的净收益）
决策准则：选 EMV 最大的方案

千万别忘了扣掉投资成本：净收益 = 收入 − 投资。各方案投资额不同时，不扣成本会得出错误结论。

6.2 例题（两层决策树）

某公司计划上线一套信息系统，有两个方案： 方案 A（直接开发）：投入 200 万元。成功概率 60%，收入 500 万元；失败概率 40%，仅能回收残值收入 100 万元。 方案 B（先做原型验证）：先投入 50 万元做原型。原型通过（概率 80%）后再投入 180 万元正式开发，正式开发成功（概率 90%）收入 500 万元，失败（概率 10%）收入 100 万元；若原型未通过（概率 20%）则项目终止，收入 0。 用决策树分析应选择哪个方案。

解：

方案 A（单层）

EMV_A = 60% × 500 + 40% × 100 − 200
      = 300 + 40 − 200
      = 140.00（万元）

方案 B（两层）

分支 1：原型通过（80%）
    正式开发净收益 = 90% × 500 + 10% × 100 − 180 − 50
                  = 450 + 10 − 230
                  = 230.00（万元）
分支 2：原型未通过（20%）
    净收益 = 0 − 50 = −50.00（万元）

EMV_B = 80% × 230 + 20% × (−50)
      = 184 − 10
      = 174.00（万元）

决策

EMV_B（174 万元） > EMV_A（140 万元） → 选择方案 B

结论：应选择方案 B（先做原型验证再正式开发）。虽然方案 B 多付出 50 万元前期投入，但通过"先验证、再投入"把失败损失限制在 50 万元以内，期望货币价值 174 万元高于方案 A 的 140 万元，多出 34 万元。这说明决策树比较的是期望货币价值，必须把每个分支的概率、全部成本（含前期投入）和残值都算进去（见 11.21 实施定量风险分析、概念卡-风险应对）。

配套记忆：龙卷风图 = 敏感性分析、S 曲线 = 蒙特卡洛模拟、决策树 = EMV。

七、答题技巧清单（照着做就能拿分）

7.1 做题顺序

1. 先通读全题，圈出每个小问的动词（求 / 判断 / 说明 / 建议），确定要套哪套公式；
2. 把已知条件列成表（PV/EV/AC/BAC 或 活动/工期/紧前），防止漏条件；
3. 一问一答、分小问写，每问独立成段并编号 —— 阅卷按点采分，混成一团会漏看；
4. 先做会做的，卡住的小问先跳过，最后回头补（公式写上也给分）。

7.2 卷面规范

7.3 结论句模板（直接背，考场上往上套）

7.4 时间分配（应用技术科目最长作答 120 分钟，前一科节余时长自动转入）

计算大题不要空着。哪怕不会，把公式和已知条件列上也能拿 2-4 分。

7.5 进考场前最后 5 分钟默写清单

SV = EV − PV      CV = EV − AC
SPI = EV / PV     CPI = EV / AC
典型：EAC = BAC / CPI          非典型：EAC = AC + (BAC − EV)
双重：EAC = AC + (BAC − EV) / (CPI × SPI)
VAC = BAC − EAC   TCPI = (BAC − EV) / (BAC − AC)
正推取大算 ES/EF   逆推取小算 LS/LF
TF = LS − ES       FF = min(紧后 ES) − 本活动 EF
β 分布 Te = (To + 4Tm + Tp)/6   σ = (Tp − To)/6
渠道数 = n(n−1)/2  （6人=15，9人=36，12人=66）
EMV = Σ(概率 × 净收益)，记得扣投资
±1σ≈68%  ±2σ≈95%  ±3σ≈99%

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